SUKU BANYAK

SUKU BANYAK

 A. PENGERTIAN

Dalam matematika, polinom atau suku banyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

B. PEMBAHASAN MATERI

     Suku banyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …+ a₂x² + a₁x + a₀

dengan :

• a_n, a_n-1, a_n-2, …, a₂, a₁, a₀  adalah bilangan-bilangan real dengan a_n  ≠ 0. a_n adalah  dari x², a_n-1 adalah koefisien dari x^n-1, a_n-2 adalah koefisien dari x^n-2, …., demikian seterusnya. a₀ disebut suku tetap (konstanta).

• n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

        Nilai suku banyak

        Dalam bentuk umum dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut.

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …+ a₂x² + a₁x + a₀

~Metode Substitusi

      Nilai suku banyak untuk sebuah nilai variabel tertentu dapat dicari dengan aturan metode substitusi sebagai berikut.

Nilai suku banyak f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₂x² + a₁x +a₀ untuk x = k   ( k  bilangan real ) di tentukan oleh

F(x) = a_n(k)ⁿ + a_n-1(k)^n-1 + a_n-2(k)^n-2+ … + a₂(k)² + a₁(k) + a₀

Contoh :

Hitunglah nilai suku banyak f(x) = x³ + 3x² – x + 5 untuk nilai-nilai x = 1.

Jawab :

      Untuk x = 1, diperoleh :

      f(1) = (1)³ + 3(1)² – (1) + 5 = 1 + 3 – 1 + 5 = 8

      Jadi, nilai f(x) untuk x = 1 adalah f(1) = 8.

1.     OPERASI ANTAR - SUKU BANYAK

      Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian

Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang sejenis dari kedua suku banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak itu. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah suku banyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.

Contoh :

Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan

f(x) = x³ + x² – 4 dan g(x) = x³ – 2x² + x + 2

a)     Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya.

b)  Tentukan f(x) – g(x) serta derajatnya.

c)  Tentukan f(x) ∙ g(x) serta derajatnya.

Jawab :

a).  f(x) + g(x) = (x³ + x² – 4) + (x³ – 2x² + x + 2)

       ↔ f(x) + g(x) = (x³ + x³) + (x² – 2x²) + x + (-4 + 2)

       ↔ f(x) + g(x) = 2x³ – x² + x – 2

       Jadi, f(x) + g(x) = 2x³ – x² + x – 2 dan f(x) + g(x) berderajat 3.

b). f(x) – g(x) = (x³ + x² – 4) – (x³ – 2x² + x + 2)

       ↔ f(x) – g(x) = (x³ – x³) + (x² –(-2x²)) – x + (-4 – 2)

       ↔ f(x) – g(x) = 3x² – x – 6

c). f(x) ∙ g(x) = (x³ + x² – 4) (x³ -2x² + x + 2)

  ↔ f(x) ∙ g(x) = x³ (x³ – 2x² + x + 2) + x² (x³ – 2x² + x + 2) – 4(x³ – 2x² + x + 2)

  ↔f(x) ∙ g(x) = x⁶ – 2x⁵ + x⁴ + 2x³ + x⁵ – 2x⁴ + x³ +2x² – 4x³ + 8x² – 4x -8

  ↔f(x) ∙ g(x) = x⁶ + (-2x⁵ + x⁵) + (x⁴ – 2x⁴) + (2x³ + x³ – 4x³) + (2x² + 8x²) – 4x- 8

  ↔f(x) ∙ g(x) = x⁶ – x⁵ – x⁴ – x³ + 10x² – 4x - 8

      Jadi, f(x) ∙ g(x) = x⁶ – x⁵ – x⁴ – x³ + 10x² – 4x – 8 dan f(x) ∙ g(x) berderajat 6.

2.   KESAMAAN SUKU BANYAK

Suku banyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x), jika kedua suku banyak itu mempunyai nilai yang sama untuk variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku banyak f(x) dan g(x) itu di tulis sebagai

f(x) ≡ g(x) ≡ dibaca “kesamaan”.

Contoh :

Tentukan nilai a pada kesamaan x² – 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) + 3a.

Jawab :

Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan

            x² – 3x + 14 ≡ x² – 3x + 2 + 3a

            x² – 3x + 14 ≡ x² – 3x + (2 + 3a)

Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, di peroleh :

          14 = 2 + 3a

          3a = 14 – 2

            a = 12/3
             a = 4

Jadi, nilai a pada kesamaan x² – 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) + 3a adalah 4.

3.       PEMBAGIAN SUKU BANYAK

TEOREMA SISA

Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa pembagian S(x). Persamaan yang menyatakan hubungan antara f(x) dengan P(x), H(x), dan S(x) adalah:

f(x) = P(x) ∙ H(x) + S(x)

Ket : 

• f(x) sebagai suku banyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat n.

• P(x) sebagai suku banyak pembagi, misalnya diketahui berderajat m dan m ≤ n.

• H(x) sebagai suku banyak hasil bagi, berderajat (n-m) yaitu derajat suku banyak yang di bagi dikurangi dengan derajat suku banyak pembagi. 

•  S(x) sebagai suku banyak sisa pembagian, berderajat paling tinggi atau maksimum (m – 1) yaitu berderajat maksimum satu kurangnya dari derajat suku bayak pembagi.

 

A.   Pembagian dengan (x – k)

Jika pembagi suatu suku banyak/polinomial adalah (x – k), maka persamaan pembagian dapat dituliskan sebagai berikut

f(x) = P(x) H(x) + S
atau
f(x) = (x – k) H(x) + S

Untuk menentukan hasil bagi dan sekaligus sisa pembagian dari suatu suku   banyak kita dapat menggunakan dua cara yaitu cara pembagian biasa (cara bersusun) dan cara bagan atau horner/skema. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut.

Contoh :
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:
 x³ + 7x²  + 4 dibagi (x – 2)
 Penyelesaian:
 a) Cara Biasa
 

Jadi, hasil baginya H(x) = x²  + 9x + 18 dan sisa S = 40

b) Cara Skema/Horner

Jadi, hasil baginya H(x) = x²  + 9x + 18 dan sisa S = 40 

    B. Pembagian dengan (ax + b)

Pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b), dapat dinyatakan sebagai berikut

Nilai S (sisa) dapat dinyatakan dengan Teorema Sisa berikut

 

Teorema Sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah S = f ( -b/a )

Untuk lebih memahami pembagian suku banyak dengan (ax + b), perhatikan contoh berikut

Contoh :

Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika 6x³  - 2x²  – x + 7 dibagi (3x + 2)

Penyelesaian:

Untuk menyelesaiakan soal di atas akan digunakan dengan cara horner.

Dari  cara horner di atas diperoleh H(x) = 6x²  – 6x + 3, sehingga hasil baginya

 

dan sisa pembagiannya adalah 5

            C. Pembagian dengan (ax²  + bx + c)

Pembagian suku banyak dengan ax²  + bx + c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara biasa apabila ax²  + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax²  + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Dari pembagian dengan ax²  + bx + c ini diperoleh Teorema Sisa 3 yaitu

Teorema Sisa

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah S = px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q

Contoh 1 : 
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika 4x³  + x²  + 2x – 5 dibagi (x²  + 2x – 3)

Penyelesaian :

 

Jadi, hasil baginya 4x - 7 dan sisanya adalah 28x - 26

Contoh 2 :

Tentukanlah nilai a dan b, jika x³  + ax + b habis dibagi (x²  + x + 1)

Penyelesaian

Karena x³  + ax + b habis dibagi (x²  + x + 1) maka sisanya adalah 0. Dengan menggunakan pembagian cara biasa diperoleh

 

  

Dari, bentuk di atas diperoleh

ax + x = -x

(a + 1)x = -x

a + 1 = -1

a = -2

dan

b = -1

Jadi, nilai a = -2 dan b = -1